Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке? Уравнение касательной и нормали к графику функции Уравнение нормали функции.

Определение . Нормаль - это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Если существует конечная и отличная от нуля производная f"(x 0) то уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x 0 выражается следующим уравнением:

Пример 1 . Написать уравнение нормали к кривой y=3x-x 2 в точке x 0 =2.

Решение.

1. Находим производную y"=3-2x

x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1

3. Находим значение функции в точке x 0 =2: f(x 0)=f(2)=3*2-2 2 =2

4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:

5. Получаем уравнение нормали: y=x

Калькулятор уравнения нормали

Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.

Пример 2 . (Рассмотрим особый случай когда f"(x 0) равно нулю)

Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x 0 =π/2

Решение.

1. Находим производную y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Находим значение производной в точке x 0 =π/2:

f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.

Воспользуемся определением нормали,сначала находим , потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Приложения производной.

5.1.Геометрический смыл производной:

Рассмотрим график функции y = f (x ).

Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущей AB .

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B , то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС .

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует:Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .

1. Касательной к графику функции в точке (х 0; f(х 0) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной : y – f (x 0) =

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х 0; f(х 0), называется нормалью к графику функции .

Уравнение нормали: y – f (x 0) =

Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х 0 =2.

Решение:

1. Находим ординату точки касания: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Находим угловой коэффициент касательной: f " (х)= (10x-x) " =10-2х, = f " (2)=10–2∙2=6

3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной,

4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали.

5.2. Физический смысл производной:

Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени:

5.3. Механический смысл производной:

Определение . Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени:

Задача: Определить скорость и ускорение точки, движущейся по закону в момент t=4c.

Решение:

1. Находим закон скорости: v= S"=

2. Находим скорость в момент t = 4c: v (t)= v (4)=2∙4 2 +8∙4=64 ед/сек

3. Находим закон ускорения: а=v′ =

4. Находим ускорение в момент t = 4c: а (t)= а( 4)=4∙4+8=24 ед/сек 2

РАЗДЕЛ 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∙∆х (1).

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ"(х) ∙ dх (2)иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х).

Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находимdy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x 3 –7x.

Решение:

РАЗДЕЛ 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.

Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример : f(x) = 3х 2 3х 2 dx F(x) = х 3 .

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F 1 (x) = х 3 , F 2 (x) = х 3 + 4, F 3 (x) = х 3 - 2, в общем виде F(x) + С, где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х 2 существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx .

Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, F(x) - какая-либо первообразная,

С - постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ d F(x) = F(x) + С

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx , k-const.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Т е м а : Понятия касательной и нормали.

Уравнения касательной и нормали.

Цели:

Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.

Познавательные : устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).

Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний студентов:

(Введение понятий касательной и нормали к кривой)

Мы знаем аналитический и физический смысл производной: (ответы студентов :

аналитический смысл – это, физический – это скорость процесса, заданного функцией).

Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. (ответы студентов : касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке

Определение . Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривой в точке,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

Объяснение нового материала:

(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).

Пусть кривая является графиком функции. Точки

лежат на графике функции. Прямая – касательная к кривой.

Угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(3)

Проблемные вопросы : посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?

Чему равно произведение? Почему так происходит?

(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)

Закрепление теоретического материала на практике:

( Решение задач в аудитории)

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках.

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной.

Найдём производную функции: .

. Следовательно, .

Найдём значение производной в точке

Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём. .

Вычислим значение производной в точке: .

Следовательно, и.

Аналогично в точке.

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно, и

Подставив в функцию, получим. Получили точку.

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид.

Из условия задачи. Найдём производную.

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или.

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой:

или

Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами.

3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой.

4.В какой точке касательная к кривой: а) параллельна оси; б) образует с осью угол 45?

5.Найти абсциссу точки параболы, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?

8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135

с осью?

9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?

10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.

12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

14.Составить уравнение касательной к кривой в точке.

15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой.

Ответы : 1) .12 2). 45°, arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45° 12) .у = -2х-1 13) .у = -х+2 14) .у=4х+6 15) .у = 4х-2.

Критерий оценки : «5»- 15 заданий

«4»- 11-14 заданий

«3»- 8 заданий

4. Итоги урока : выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)

5. Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:

Дайте определение касательной к кривой.

Что называется нормалью к кривой?

В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию : составить и решить карточку по данной теме.

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

3. К циклоиде в точке, для которой

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

то -локальный минимум

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.

Ответ: - локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

	2.	3.

Исследовать на экстремумы функции:

7 .
8 .
9 .