Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Квадрат - это частный случай прямоугольника.
Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника , а длина наиболее коротких - шириной прямоугольника .
Свойства прямоугольника
1. Прямоугольник - это параллелограмм
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )
2. Противоположные стороны равны
\(AB = CD,\enspace BC = AD \)
3. Противоположные стороны параллельны
\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)
5. Диагонали прямоугольника равны
\(AC = BD \)
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \(AB = CD \) .
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\(AB = CD \) и \(AD \) - совместный).
Если обе фигуры - \(ABC \) и \(DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \(BD \) и \(AC \) тоже тождественны.
Значит, \(AC = BD \) .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) по условию. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.
Получается, что \(\angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
Выводим, что \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D \) . Все они по \(90^{\circ} \) . В сумме - \(360^{\circ} \) .
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
\(AO = BO = CO = DO \)
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности
Прямоугольник … Орфографический словарь-справочник
Параллелограмм, четырехугольник, квадрат Словарь русских синонимов. прямоугольник сущ., кол во синонимов: 4 квадрат (9) … Словарь синонимов
Термин, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков для обозначения движения цен, укладывающегося на графике в прямоугольник. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр … Экономический словарь
Словарь бизнес-терминов
ПРЯМОУГОЛЬНИК, параллелограмм, все углы которого прямые … Современная энциклопедия
Четырехугольник, у которого все углы прямые … Большой Энциклопедический словарь
ПРЯМОУГОЛЬНИК, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА … Научно-технический энциклопедический словарь
ПРЯМОУГОЛЬНИК, прямоугольника, муж. (геом.). Четырехугольник, в котором все углы прямые. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ПРЯМОУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Четырёхугольник, у к рого все углы прямые. 2. Название офицерского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1924 по 1943 г.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Вид графика движения цены в виде треугольника, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
Книги
- Прямоугольник (+ наклейки) , Валерия Вилюнова. Эта книга с наклейками предназначена для самых маленьких читателей. В 2 года ребенок с удовольствием выполняет увлекательные задания, приклеивая наклейки в нужноеместо. Это занятие не только…
- Геометрическая мозаика. Прямоугольник , Вилюнова В.. Книга «Прямоугольник» предназначена для самых маленьких читателей. С ее помощью ваш малыш познакомится с геометрическими фигурами – прямоугольником и трапецией, научится различать и называть…
Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.
Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине. При построении диагонали в прямоугольнике она разобьет фигуру на два одинаковых треугольника. На этой и основана теорема Пифагора, в которой говорится о том, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов. Если все стороны правильного прямоугольника равны, то такой прямоугольник называют квадратом. Квадрат также определяется как ромб, у которого все его стороны равны между собой, а все углы прямые.
Прямоугольник уникален своей простотой. На основе этой фигуры ученики начинают познавать основы геометрии. Поэтому в старших классах теряются, не зная основных свойств и признаков прямоугольника, напрасно считая эту фигуру излишне простой.
Прямоугольник
Определение прямоугольника известно с начальной школы: это параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусам. Возникает вопрос: что же такое параллелограмм?
Несмотря на заковыристое название, эта фигура столь же проста, как и прямоугольник. Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны.
В определении обязательно выделять слово выпуклый. Поскольку выпуклые и невыпуклые четырехугольники четко разделяются в геометрии. Причем невыпуклые фигуры вообще не изучаются в школьном курсе математики, так как они куда более непредсказуемы в своих свойствах.
Рис. 1. Выпуклые четырехугольники
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. При этом существуют как другие частные случаи параллелограмма, например, ромб; так и другие частные случаи прямоугольника - квадрат. Поэтому перед тем, как доказывать, что фигура является прямоугольником, нужно доказать, что она является параллелограммом.
Свойства прямоугольника
Свойства прямоугольника можно разбить на две группу: свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
Рис. 2. Свойства параллелограмма
Свойства прямоугольника:
- Все углы равны 90 градусам, что проистекает из определения фигуры.
- Диагонали прямоугольника разбивает фигуру на два малых равных прямоугольных треугольника. Это свойство легко доказать. Треугольники будут прямоугольными, так как включат в себя по одному углу в 90 градусов. При этом диагональ будет являться общей стороной,а катеты окажутся равными, так как противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны.
- Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 3. Луч
Признаки прямоугольника
У прямоугольника всего три основных признака:
- По углу. Если один из углов параллелограмма равен 90 градусам, то параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника равны 90 градусам, то такой четырехугольник является прямоугольником. Обратите внимание, что в этом случае нет необходимости доказывать, что перед нами параллелограмм. Достаточно знать значения углов четырехугольника.
- По диагонали: если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.
Обращайте внимание на то, к какой фигуре применяется признак, это имеет значение при доказательстве.
В чем разница признака и свойства? Признак это отличие по которому можно выделить фигуру среди других. Как имя у человека. Вы видите знакомого, вспоминаете его имя и сразу знаете, что от него ожидать. А вот ожидания от человека это уже свойства. Свойства можно применять только после того, как вы доказали, что перед вами та или иная фигура. А для этого доказательства нам и необходимы признаки.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое параллелограмм. Поговорили о частных случаях параллелограмма, в том числе и о самом распространенном - прямоугольнике. Выделили свойства и признаки прямоугольника. Обратили внимание на то, что часть признаков действительно для любого четырехугольника, а часть только для параллелограмма.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.1 . Всего получено оценок: 268.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Доказательство
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Противоположные стороны равны.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Противоположные стороны параллельны.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Диагонали прямоугольника равны.
AC = BD
Доказательство
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .
Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).
Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.
Значит, AC = BD .
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.
Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .
Доказано!
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .
10. Сумма всех углов равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
11. Все углы прямоугольника прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}
\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).
